Enunciado

Prove:

2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7)) = (pi)/(4)

Passo 1

A questão pede para provarmos que

2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7)) = (pi)/(4)

Note que provar isso é a mesma coisa que provar:

tan (2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7))) = tan (pi)/(4) = 1

Assim, vamos tentar calcular o valor da expressão:

I = tan (2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7)))

Passo 2

Usando a fórmula da tangente da diferença:

tan (a - b) = (tan a - tan b)/(1 + tan a tan b)

Assim,

I = tan (2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7))) = (tan a - tan b)/(1 + tan a tan b) ,

com a = 2 arctan (1)/(3) e b = arctan (- (1)/(7)) . Assim,

tan (a)/(2) = (1)/(3) e tan b = - (1)/(7)

Usando a fórmula da tangente do arco duplo:

tan a = (2 tan (a)/(2))/(1 - tan^2 (a)/(2)) = (2 * (1)/(3))/(1 - (1)/(9)) = ((2)/(3))/((8)/(9)) = (2)/(3) * (9)/(8) = (3)/(4)

Passo 3

Assim,

I = (tan a - tan b)/(1 + tan a tan b) = ((3)/(4) - (- (1)/(7)))/(1 + (3)/(4) * (- (1)/(7))) = ((21 + 4)/(28))/((28 - 3)/(28)) = (25)/(25) = 1

Desta forma, temos que

tan (2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7))) = 1

Assim, temos que

2 arctan (1)/(3) - arctan (- (1)/(7)) = arctan 1 = (pi)/(4)

Essa era exatamente a expressão que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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