Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

g x = x 3 + 5 x - 4 ;                 [ - 3 ,   - 1 ]

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado usando o método dos exemplos 3 e 4. Nesses exemplos, usamos o método do intervalo fechado que vale quando o intervalo é fechado e a função é contínua e derivável em todo o intervalo.

O teorema do intervalo fechado garante que sob essas condições, a função terá extremos absolutos (tanto máximo como mínimo) no intervalo. Os candidatos a extremos são os pontos que anulam a derivada e os extremos do intervalo. Basta compararmos os valores da função nesses pontos: o maior será o máximo global e o menor o mínimo!

Neste problema, temos g x = x 3 + 5 x - 4 , assim

g ' x = 3 x 2 + 5

Note que a equação 3 x 2 + 5 = 0 não tem soluções reais, de modo que a derivada não se anula em nenhum ponto no intervalo. Assim, os candidatos a extremos absolutos são os extremos do intervalo: x = - 1 e x = - 3 .

Passo 2

Vamos analisar os valores da função nos candidatos a extremos:

g - 1 = - 1 - 5 - 4 = - 10

g - 3 = - 27 - 15 - 4 = - 46

Como g - 3 < g ( - 1 ) , x = - 1 é ponto de máximo e x = - 3 é ponto de mínimo!

Passo 3

A seguir damos um esboço do gráfico de g nesse intervalo:

Resposta

Máximo absoluto: g - 1 = - 10 .

Mínimo absoluto: g - 3 = - 46 .

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