Enunciado

Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 ) = 16 3

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 ) d x = f χ 4 - 0

⇒ 16 3 = 4 f χ ⇒ f χ = 16 3 ⋅ 4

⇒ f χ = 4 3

Mas f χ = χ 2 + χ - 6 , então isso nos leva a equação de segundo grau::

χ 2 + χ - 6 = 4 3 ⇒ 3 χ 2 + 3 χ - 18 = 4

⇒ 3 χ 2 + 3 χ - 22 = 0

Passo 3

Resolvemos agora a equação de segundo grau para achar χ :

Δ = 3 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 22 = 9 + 264 = 27 3

χ = - b ± Δ 2 a = - 3 ± 273 2 ⋅ 3

Como χ deve ser positivo, temos então:

χ = - 1 2 + 273 6 ≈ 2,254

Passo 4

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 2 + x - 6 no intervalo [ 0 ,   4 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( 0,0 ) a ( 4,0 ) e altura igual a f - 1 2 + 273 6 = 4 3 .

Note que a integral tem valor - A 4 + A 2 + A 3 ( A 4 com valor negativo pois está abaixo do eixo x) e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 - A 4 .

Resposta

χ = - 1 2 + 273 6

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