Enunciado

Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ - 2 1 x 4 = 33 5

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ - 2 1 x 4 = f χ 1 - ( - 2 )

⇒ 33 5 = 3 f χ ⇒ f χ = 33 5 ⋅ 3 = 11 5

Mas f χ = χ 4 , então:

χ = ± 11 5 4 ± 1,22

Como χ deve estar no intervalo [ - 2,1 ] , temos então

χ = - 11 5 4 = - 1,22

Passo 3

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 4 no intervalo [ - 2 ,   1 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( - 2,0 ) a ( 1,0 ) e altura igual a f - 11 5 4 = 11 5 .

Note que a integral tem valor A 2 + A 3 e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 .

Resposta

χ = - 11 5 4

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