Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 30 em torno da reta x = 2 .

Passo 1

A região delimitada do exercício 30 é dado pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .Vamos colocar a região delimitada em uma figura para facilitar a visualização:

Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico para fazermos a rotação em torno do eixo y:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação é em torno da reta x = 2 , precisamos reescrever o x que está multiplicando a f(x) por 2 - x e a f(x) será a própria curva dada no enunciado:

f x = 4 x - 1 8 x 4

Os limites serão dados por x = 0 delimitado pela curva e x = 2 delimitado pela reta na direita. Nossa integral vai ficar:

V = 2 π ∫ 0 2 2 - x 4 x - 1 8 x 4 d x

Passo 3

Vamos agora resolvê-la, reescrevendo a integral acima:

V = ∫ 0 2 1 8 x 5 - 1 4 x 4 - 4 x 2 + 8 x d x

Integrando cada termo:

V = 2 π 1 48 x 6 - 1 20 x 5 - 4 3 x 3 + 4 x 2 2 0

Substituindo os limites:

V = 152 π 15

Resposta

V = 152 π 15

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