Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo y e pela reta y = 6 em torno da reta x = 2 .

Passo 1

Vamos colocar as delimitações da região em uma imagem para facilitar:

A região entre as três linhas vermelhas é a região que iremos rotacionar e a linha preta é o eixo. Usaremos a equação do volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a região está acima da curva y, para escrevermos f(x) precisaremos subtrair a altura da linha horizontal y = 6 pela curva y = 4 x - 1 8 x 4 :

f x = 6 - 4 x - 1 8 x 4

f x = 6 - 4 x + 1 8 x 4

Como precisamos rotacionar em torno de um eixo que não é o eixo y, precisamos ‘adaptar o integrando da equação do Passo 1, substituiremos x por 2 - x para que a rotação seja em torno da reta x = 2 . E os limites de integração serão x = 0 e x = 2 , por causa das duas retas, uma de delimitação do eixo y e a outra de rotação. Nossa equação então ficará:

V = 2 π ∫ 0 2 2 - x 6 - 4 x + 1 8 x 4 d x

Passo 3

Agora vamos resolver a integral acima, primeiro reescrevendo o integrando:

V = 2 π ∫ 0 2 12 - 14 x + 4 x 2 + 1 4 x 4 - 1 8 x 5 d x

Integrando cada termo:

V = 2 π 12 x - 7 x 2 + 4 3 x 3 + 1 20 x 5 - 1 48 x 6 2 0

Substituindo os limites de integração:

V = 2 π 12 2 - 7 4 + 4 3 8 + 1 20 32 - 1 48 ( 64 )

V = 208 π 15

Resposta

V = 208 π 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 32 – A região limitada por y =x
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 32 – A região limitada por y =x
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 34 – A região no primeiro quadr
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 34 – A região no primeiro quadr
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. Se preferir, você poderá usar anéis para resolvê-los. 32 – A região limitada por y =x