Enunciado

Um homem em um cais está puxando um bote por uma corda a uma velocidade de 1   m / s . As mãos do homem estão 6   m acima do ponto em que a corda está amarrada no bote. Com que velocidade estará variando o ângulo formado entre a corda e a superfície da água quando restarem para ser puxados 16   m de corda?

Passo 1

Um barco é puxado por uma corda a uma taxa constante de 1   m / s e a elevação da corda com relação à água é de 6   m , como ilustra a figura:

Queremos saber com que velocidade o ângulo θ varia, isto é, o valor de θ ' quando y = 16   m . Para isso, do triângulo retângulo, temos que

s e n   θ = 6 y ⇒ θ = a r c s e n 6 y

Precisamos derivar essa equação com relação ao tempo para obter θ ' .

Passo 2

Derivando com relação ao tempo:

θ ' = 1 1 - 6 y 2 ⋅ 6 y ' = 1 y 2 - 36 y 2 ⋅ - 6 y 2 ⋅ y '

Assim,

θ ' = y y 2 - 36 ⋅ - 6 y 2 y ' = - 6 y ' y   y 2 - 36

Agora basta substituir y = 16 e y ' = - 1 . O sinal de menos no y ' vem porque o comprimento da corda está diminuindo a uma taxa de 1   m / s . Assim,

θ ' = - 6 ⋅ - 1 16   256 - 36 = 3 8 220 = 3 16 55

Assim, a velocidade com o ângulo varia é

θ ' = 3 16 55   r a d / s

Resposta

3 16 55   r a d / s

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