Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .

Passo 1

Vamos colocar a região delimitada em uma figura para facilitar a visualização:

Usaremos a equação de volume por invólucro cilíndrico para fazermos a rotação em torno do eixo y:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação é em torno do eixo y, não precisamos alterar o integrando, e a f(x) será a própria curva dada no enunciado:

f x = 4 x - 1 8 x 4

Os limites serão dados por x = 0 delimitado pela curva e x = 2 delimitado pela reta na direita. Nossa integral vai ficar:

V = 2 π ∫ 0 2 x 4 x - 1 8 x 4 d x

Passo 3

Vamos agora resolvê-la, reescrevendo a integral acima:

V = 2 π ∫ 0 2 4 x 2 - 1 8 x 5 d x

Integrando cada termo:

V = 2 π 4 3 x 3 - 1 48 x 6 2 0

Substituindo os limites:

V = 2 π 32 3 - 64 48 = 56 π 3

Resposta

V = 56 π 3

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = - 1 da região acima do eixo x limitada pela reta 2 y = x + 3 e pelas curvas y 2 + x = 0 , y 2 - 4 x = 0 de x = - 1 a x = 1 .
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 2 ,y = 6 x - 2 x 2
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x x y = 1
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado y = x 4 ,y = 0 ,x = 2 eixo y
Considere s o solido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno no do eixo y . Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S. Esboce uma casca de aproximação