Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = - 1 da região acima do eixo x limitada pela reta 2 y = x + 3 e pelas curvas y 2 + x = 0 , y 2 - 4 x = 0 de x = - 1 a x = 1 .

Passo 1

Se plotarmos essas funções em um gráfico para ajudar a nossa visualização, teremos o seguinte:

No qual:

A função em verde é 2 y = x + 3 ;

A função em vermelho é y 2 + x = 0 ;

A função em azul é y 2 - 4 x = 0 ;

A linha pontilhada em laranja é o eixo de rotação y = - 1 .

Passo 2

Se observamos o gráfico, notaremos que há uma região chamada de R 1 que está à esquerda da origem e outra região, chamada de R 2 , que está à direita da origem. Quando isso ocorre, o que temos que fazer é calcular o volume de cada região separadamente e depois somar seus resultados, ok? Seja V o volume total das regiões, teremos:

V = V 1 + V 2

Como o eixo de rotação não toca a região em questão, um método interessante de utilizarmos é o método do anel. Esse método nos diz o seguinte:

V = ∫ a b π [ R e 2 - R i 2 ) ] d x

No qual R e e R i são, respectivamente, o raio externo e interno do sólido.

Passo 3

Agora que já sabemos o que temos que fazer, vamos utilizar esse raciocínio para calcular V 1 . Para a primeira região, o raio externo é a função em verde e o raio interno é a função em vermelho, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

R e 2 = x 2 + 3 2 - - 1 ²

R e 2 = x 2 + 5 2 2

R 1 2 = - x - - 1 2

R i 2 = - x + 1 2

Utilizando a integral supracitada no passo 2, teremos:

V 1 = ∫ - 1 0 π x 2 + 5 2 2 - - x + 1 2 d x

V 1 = π ∫ - 1 0 x 2 4 + 2 . x 2 . 5 2 + 25 4 - - x + 2 . - x + 1 d x

V 1 = π ∫ - 1 0 x 2 4 + 7 x 2 + 21 4 - 2 - x d x

Resolvendo a integral, teremos:

V 1 = π x 3 12 + 7 x 2 4 + 21 4 x + 4 3 - x 3 2 0 - 1

∴ V 1 = π 0 - - 1 12 + 7 4 - 21 4 + 4 3 = 9 4 π   u . v

Passo 4

Uma vez calculado V 1 , vamos utilizar o mesmo raciocínio do passo anterior para calcular V 2 ! Para a segunda região, o raio externo é a função em verde e o raio interno é a função em azul, certo? Sendo assim, teremos:

R e 2 = x 2 + 3 2 - - 1 ²

R e 2 = x 2 + 5 2 2

R i 2 = 2 x - - 1 2

R i 2 = 2 x + 1 2

Utilizando a integral supracitada no passo 2, teremos:

V 2 = ∫ 0 1 π x 2 + 5 2 2 - 2 x + 1 2 d x

V 2 = π ∫ 0 1 x 2 4 + 2 . x 2 . 5 2 + 25 4 - 4 x + 4 x + 1 d x

V 2 = π ∫ 0 1 x 2 4 - 3 2 x + 21 4 - 4 x d x

Resolvendo a integral, teremos:

V 2 = π x 3 12 - 3 4 x 2 + 21 4 x - 8 3 x 3 2 1 0

∴ V 2 = π 0 - 1 12 - 3 4 + 21 4 - 8 3 = 23 12 π   u . v

Passo 5

Agora que já encontramos V 1 e V 2 , temos que o volume total do sólido será:

V = V 1 + V 2

V = 9 4 π + 23 12 π  

∴ V = 25 6 π   u . v

Resposta

V = 25 6 π   u . v

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