Enunciado

Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4

Ao redor do eixo x

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja.

Entao a região vai de x = 0 até x = 4 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 4 π x 2 d x

Como o intervalo é positivo, vamso ter que

x 2 = x

V = ∫ 0 4 π x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 4 π x d x

V = π ∫ 0 4 x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x d x = x 2 2 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 4 x d x = π x 2 2 0 4 =

π 4 2 2 - π 0 2 2 = π 16 2 - 0 2

8 π

Resposta

8 π

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