Calcule a integral indefinida

∫ d s 2 s - s 2

Passo 1

∫ d s 2 s - s 2

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo s 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

2 s - s 2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

2 s - s 2 = - s 2 - 2 s

Vamos olhar so p s 2 - 2 s , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Comaprando, teremos

a = s

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b 2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- s 2 - 2 s = 1 - s 2 - 2 s + 1

Organizando

1 - s 2 - 2 s + 1 = 1 - s - 1 2

A nossa integral fica:

∫ d s 2 s - s 2 = ∫ d s 1 - s - 1 2

Passo 2

∫ d s 1 - s - 1 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

s - 1 = x → d s = d x

Substituindo na integral:

∫ d s 1 - s - 1 2 = ∫ d x 1 - x 2

Essa é integra é sen - 1 ⁡ x , então vamos ter:

∫ d x 1 - x 2 = sen - 1 ⁡ x + C

Voltando para s

sen - 1 ⁡ x + C = sen - 1 ⁡ s - 1 + C

Resposta

sen - 1 ⁡ s - 1 + C

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