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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 45

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De acordo com a fórmula que limita o erro para a regra de Simpson, quantos subintervalos você deve usar área estimar o valor de

l n 3 = ∫ 1 1 1 x   d x

Pela regra de Simpson com um erro de não mais que 10 - 4 em valor absoluto? (Lembre-se de que, na regra de Simpson, o número de subintervalos deve ser par.)

Passo 1

O nosso problema pede para usar a regra de Simpson, vamos então relembrar qual a regra

E ≤ M b - a 180 n 4

Se f 4 for contínua e   M for qualquer limite superior para os valores de f 4 em a , b .

Então, vamos precisar da derivada de ordem 4 da função. Vamos encontrar , blz ?

f x = 1 x = x - 1 ⟹ f ' x - x - 2

⟹ f ' ' x =   2 x - 3 ⟹   f ' ' ' x =   - 6 x 4  

⟹   f 4 x =   24 x - 5

Perceba que é contínua e decresce no intervalo 1,3 . E, o máximo de f 4 em 1,3 é   f 4 1 =   24 .

Então M   da fórmula é M = 24   . Além disso, temos que Δ x = 3 - 1 n = 2 n

Passo 2

Substituindo,

E ≤ 3 - 1 180   Δ x 4 =     3 - 1 180 2 n 4 24    

Seguindo a orientação da questão ,

E ≤     3 - 1 180 2 n 4 24   ≤ 0,0001    

Daí,

⟹ 768 180 1 n 4 ≤ 0,0001   ⟹

1 n 4 ≤ 0,0001 ⋅ 180 768    

⟹   n 4 ≥   10000 768 180

  ⟹   n ≥ 14,37  

Como a quantidade de intervalos devem ser par, n ≥ 16 .  

Resposta

n ≥ 16 .

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