Enunciado

104. Formule um exemplo de uma função descontínua para a qual o teorema do valor médio para integrais (a) não se aplica e (b) se aplica.

Passo 1

Um exemplo clássico de uma função descontínua é uma função definida por partes. Então para formular o exemplo da questão serial ideal pegar alguma função definida por partes. E o que temos que concluir a partir disso é que existe um número c num intervalor fechado [a,b] tal que f c = 1 b - a . ∫ a b f x d x   .

Passo 2

Letra (a)

Tome f x = 0 ,     x < 0 1 ,     x ≥ 0 e escolha um invervalo qualquer que contenha o seu ponto de descontinuidade.

Passo 3

Utilizando o intervalo fechado [-1,1], podemos calcular a integral da função como:

∫ - 1 1 f x d x = ∫ - 1 0 0   d x + ∫ 0 1 1   d x = 0 + 1 = 1

Portanto, temos que:

1 1 - - 1 .   ∫ - 1 1 f x d x = 1 2 . 1 = 1 2

Assim, não existe um número c neste intervalo tal que f c = 1 2 . Logo, para essa função o teorema do valor médio para integrais não se aplica.

Passo 4

Letra (b)

Tome g x = 0 ,     x < 0 1 2 ,     x = 0 1 ,   x > 0   e escolha um invervalo qualquer que contenha o seu ponto de descontinuidade.

Passo 5

Utilizando o intervalo fechado [-1,1], podemos calcular a integral da função como:

∫ - 1 1 g x d x = ∫ - 1 0 0   d x + ∫ 0 1 1   d x = 0 + 1 = 1

Portanto, temos que:

1 1 - - 1 .   ∫ - 1 1 f x d x = 1 2 . 1 = 1 2

Assim, se c = 0, então g 0 = 1 2   e a conclusão do teorema do valor médio para integrais é verdadeira.

Resposta

Demonstração.

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