Enunciado

Nos exercícios 105 e 106, use o segundo teorema fundamental do cálculo para calcular a integral definida. Então, encontre o valor de X que satisfaça o teorema do valor médio para integrais.

106. ∫ 1 4 x d x   .

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para utilizarmos dois teoremas importantes quando o assunto é cálculo : teorema fundamental do cálculo e o teorema do valor médio para integrais. Quando ele fala em utilizar o segundo teorema fundamental do cálculo, é nada mais nada menos que resolver a integral definida como de costume. O que o teorema do valor médio para integrais nos diz é que existe um número X num intervalor fechado [a,b] tal que f X = 1 b - a . ∫ a b f x d x   .

Passo 2

Utilizando o segundo teorema fundamental do cálculo, vem :

∫ 1 4 x d x   = 1 2 x 1 2 + 1   1 4 = 1 2 ( 4 3 2 - 1 ) = 7 2

Passo 3

Utilizando o valor encontrado acima para achar quem é X , vem:

f X . 4 - 1 = 7 2    

I s t o   é   ,  

X = 7 6

X = 49 36    

Logo, temos

∫ 1 4 x d x   = f 49 36   . 4 - 1

Resposta

∫ 1 4 x d x   = 7 2

X = 49 36    

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