Enunciado

Um pequeno país tem $   10 bilhões em papel-moeda em circulação e a cada dia $   50 milhões chegam aos bancos daquele lugar. O governo decide introduzir uma nova moeda, fazendo com que os bancos troquem notas velhas por novas sempre que a moeda antiga entrar nos bancos. Denote por x = x t a quantidade de moeda nova em circulação no instante t , com x 0 = 0 .

(a) Formule um modelo matemático na forma de um problema de valor inicial que represente o “fluxo” da nova moeda em circulação.

(b) Resolva o problema de valor inicial encontrado na parte (a).

(c) Quanto tempo levará para a nova moeda representar 90   % da moeda em circulação?

Passo 1

(a) Fala, galera! Nesse exercício a gente precisa formular um modelo matemático. Mas o que seria isso?

Bom, a maneira mais simples que eu tenho pra te explicar, é você pensar em buscar qual a pergunta certa pra obter a resposta que você precisa. Sabe quando você se depara com uma questão que só te fornece alguns dados mas nenhuma equação ou fórmula, e seu único pensamento é “Não faço a mínima ideia de como começar” ? Essa questão, mesmo não explicitamente, te pediu pra formular um modelo matemático sobre o problema. Com o seu conhecimento matemático e a sua interpretação do problema, você tem aquele insight, você enxerga a relação entre os dados fornecidos e monta uma equação. Aí depois disso fica mais fácil de resolver a questão.

No nosso caso, o modelo matemático é uma equação diferencial com valor inicial, pois a gente quer descrever o “fluxo” da nova moeda. Então vamo lá?

Passo 2

Galera, a gente sabe que, todo dia, 50   m i chegam ao banco. Desses 50   m i , uma determinada quantidade vai ser moeda velha chegando, que vai ser trocada por moeda nova e posta em circulação novamente. E vai ser essa quantidade por dia que vai representar o fluxo de chegada da moeda nova, d x d t   ,   deu pra entender? Explico de novo, se x t é a quantidade de moeda nova já em circulação, então a variação disso no tempo, ou seja, d x d t , é o quanto de moeda velha está sendo trocada por moeda nova, por dia.

Agora, pra saber quanto de moeda velha chega por dia, vamos ter que fazer uma estimativa “estatística” (não se assuste com a palavra), porque não tem como adivinhar. Mas vem me acompanhando.

Temos 10   b i de moeda total em circulação. Desses, x t é a quantidade de moeda nova. Então, x t 10   b i   é a fração do quanto temos de moeda nova em relação ao total. Aí, 10   b i - x t é a quantidade de moeda velha, e 10   b i - x t 10   b i é a fração de moeda velha.

Você concorda que, quanto mais moeda velha eu tenho no país, maior a probabilidade de ter mais gente levando essa moeda pro banco? Então acaba que podemos fazer uma estimativa de quanto de moeda velha é levada pro banco baseada na quantidade que temos dela em relação ao todo. Tipo, se 30   % das moedas do país forem velhas, provavelmente uns 30   % das moedas levadas ao banco também serão velhas, o que nos daria 0,30 × 50   m i de moedas velhas levadas ao banco por dia (é só um exemplo, viu?)

Então, agora conseguimos chegar à nossa equação, pois já vimos que d x d t é justamente a quantidade de moeda velha levada ao banco por dia, certo?

d x d t = f r a ç ã o   d e   m o e d a   v e l h a × t o t a l   d e   m o e d a   l e v a d a   a o   b a n c o   p o r   d i a

d x d t = 10   b i - x t 10   b i × 50   m i

d x d t = 10   .   10 9 - x 10   .   10 9   .   50   .   10 6  

d x d t = 10 10 - x 200

O enunciado já nos deu o valor inicial: x 0 = 0   .

Passo 3

(b) Galera, agora é resolver a equação que a gente acabou de inventar! HAHA

Ela é do tipo separável, então é só colocar cada variável de um lado e integrar:

d x d t = 10 10 - x 200

1 10 10 - x   d x = 1 200   d t

∫ 1 10 10 - x   d x = ∫ 1 200   d t + C

- ln ⁡ 10 10 - x = t 200 + C

10 10 - x = e - t 200 + C

x = 10 10 - C e - t 200

Usando o valor inicial, achamos a constante C :

0 = 10 10 - C e - 0 200

C = 10 10

Então, nossa solução fica:

x t = 10 10   ( 1 - e - t 200 )

Passo 4

(c) Então, pessoal. Pra moeda nova representar 90   % da moeda em circulação, isso significa que a quantidade de moedas novas deve ser:

x t = 90   % × 10   .   10 9 = 9   .   10 9

Pra descobrir quanto tempo levará pra isso acontecer, a gente usa a equação que encontramos no item (b) :

x t = 10   .   10 9   1 - e - t 200 = 9   .   10 9

1 - e - t 200 = 0,9

e - t 200 = 0,1

- t 200 = ln ⁡ 0,1

t = - 200 ln ⁡ 0,1 ≈ 46 1   d i a s

Resposta

(a) d x d t = 10 10 - x 200

x 0 = 0

(b) x t = 10 10   ( 1 - e - t 200 )

(c) - 200 ln ⁡ 0,1 ≈ 46 1   d i a s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine, caso existam, as soluções constantes. 4 . d x d t = t x
Calcule d W d V = C V Cc o n s t a n t e
Calcule d y d x = cos 2 ⁡ y ,π 2y3 π 2
Calcule d x d t = t cos ⁡ x ,- π 2xπ 2
Calcule d x d t = α x x + 2 αc o n s t a n t e