Enunciado

Determinado produto é produzido e vendido a um preço unitário p . O preço de venda não é constante, mas varia em função da quantidade q demandada pelo mercado, de acordo com a equação p = 20 - q   ,   0 ≤ q ≤ 20 . Admita que, para produzir e vender uma unidade do produto, a empresa gasta em média R $   3,50 . Que quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo?

Passo 1

Galera, o lucro vai ser uma função L ( q ) , dada pela diferença entre o dinheiro total p q arrecadado pela venda de q unidades a um preço p por unidade, e o custo total 3,50   q :

L q = p q - 3,5   q

Mas temos a equação p = 20 - q , então vamos substituir:

L q = 20 - q q - 3,5   q

L q = q 20 - q - 3,5   q

Passo 2

Agora, vamos derivar a função lucro e igualar a zero:

L ' q = 20 - q - q 2 20 - q - 3,5 = 0

40 - 2 q - q - 7 20 - q = 0

40 - 3 q 2 = 7 20 - q 2

1600 - 240 q + 9 q 2 = 980 - 49 q

9 q 2 - 191 q + 620 = 0

q = 4           o u           q = 155 9 ≈ 17

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função lucro nos seus pontos críticos (que acabamos de obter) e nos extremos do seu domínio, 0 ≤ q ≤ 20 , para descobrir onde a função é máxima:

L 4 = 4 20 - 4 - 3,5   4 = 2

L 17 = 17 20 - 17 - 3,5   17 ≈ - 30

L 0 = 0

L 20 = 20 20 - 20 - 3,5   20 = - 70

Logo, deve-se produzir uma quantidade q = 4 de produtos para que o lucro seja máximo.

Resposta

q = 4

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Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
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Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
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