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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 13.4 - 21

Uma força com módulo 20 N age diretamente no sentido ascendente a partir do plano x y em um objeto com massa 4 k g . O objeto começa na origem com velocidade inicial v → 0 = i → - j → . Determine sua função posição e sua velocidade escalar no instante t .

Passo 1

Olá, tudo bem? Você lembra que a força está relacionada com a aceleração, certo? Assim ó:

F → = m . a →

Então podemos calcular a aceleração! Se a força está na direção ascendente a partir do plano x y , ou seja na direção positiva de z :

( 0,0 , 20 k → ) = 4 . ( a x , a y , a z )

Assim a aceleração também vai ser na direção positiva do eixo z :

a → = 5 k →

Beleza! Mas, e a aceleração? Ela é a variação da velocidade em um determinado tempo!

a → = Δ v → Δ t

Se a aceleração também for calculada em um tempo bem pequenininho, podemos dizer que a aceleração é a derivada temporal da velocidade:

a → = d v → d t

Sendo assim, se multiplicarmos dos dois lados por d t teremos:

d v → = a → d t

Se integrarmos dos dois lados vamos ter uma função da velocidade em função do tempo:

∫ d v → = ∫ a → d t

v → = 5 k → t + c

A constante c pode ser calculada com a condição inicial da velocidade. No instante t = 0 a velocidade é v → 0 = i → - j → . Agora é só substituir:

v → 0 = a → . 0 + c = i → - j →

c = i → - j →

Assim a velocidade em função do tempo é:

v → t = i → - j → + 5 t k →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas presta atenção! O problema pede a velocidade ESCALAR! A velocidade que acabamos de achar é vetorial. Bom, pra achar o módulo dela, basta aplicar a fórmula do módulo de um vetor A → qualquer:

A = A x 2 + A y 2 + A z 2

Para o vetor velocidade:

v = 1 2 + - 1 2 + 5 t 2 = 2 + 25 t 2

Beleza! Vamos para a posição?

Passo 3

O problema pede a função posição em função do tempo! Daí temos que lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo e esse intervalo de tempo é bem pequenininho, dizemos que a velocidade é a derivada temporal da posição:

v → = d r → d t

Já que temos a função da velocidade, vamos integrar dos dois lados e obter uma expressão pra r → t :

v → t d t = d r → ( t ) = i → - j → + 5 t k → d t  

∫ d r → ( t ) = ∫ i → - j → + 5 t k → d t

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k → + c

A constante que aparece no lado direito é a constante de integração. Como a partícula parte da origem no instante inicial r → 0 = ( 0,0 , 0 ) então essa constante é zero:

r → 0 = 0 i → - 0 j → + 5.0 2 2 k → + c = 0

c = 0

Assim a equação pra posição vai ser:

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k →

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

v = 2 + 25 t 2

r → t = t i → - t j → + 5 t 2 2 k → + c

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