Enunciado

A água do mar tem densidade 1025   k g / m ³ e escoa em um campo de velocidade v = y i → + x j → , onde x , y , z são medidos em metros e as componentes de v → em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular a vazão j vamos relembrar como é a fórmula:

j = ∬ S ρ v → ⋅ d S →

Então, aqui temos duas regiões a considerar: a vazão para fora do hemisfério z = 9 - x 2 - y 2 e também para fora do disco x 2 + y 2 = 9 . Vamos por partes? Primeiro olhando o hemisfério: precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Uma parametrização possível é

x = 3 s e n ϕ c o s θ y = 3 s e n ϕ s e n θ z = 3 c o s ϕ

Sendo assim, o vetor r → é:

r → = 3 s e n ϕ c o s θ i → + 3 s e n ϕ s e n θ j → + 3 c o s ϕ k →

E as derivadas parciais r → ϕ e r → θ são:

r → ϕ = 3 c o s ϕ c o s θ i → + 3 c o s ϕ c o s θ j → - 3 s e n ϕ k →

r → θ = - 3 s e n ϕ s e n θ i → + 3 s e n ϕ c o s θ j →

E o produto vetorial entre eles é:

r → ϕ × r → θ = i → j → k → 3 c o s ϕ c o s θ 3 c o s ϕ s e n θ - 3 s e n ϕ - 3 s e n ϕ s e n θ 3 s e n ϕ c o s θ 0 = 9 s e n 2 ϕ c o s θ i → + 9 s e n 2 ϕ s e n θ j → + ( 9 s e n ϕ c o s ϕ ) k →

E o vetor velocidade em termos dessas coordenadas é:

v → = 3 s e n ϕ s e n θ i → + 3 s e n ϕ c o s θ j →

Vamos agora fazer o produto escalar entre v → e r → ϕ × r → θ :

v → ⋅ r → ϕ × r → θ = 3 s e n ϕ s e n θ i → + 3 s e n ϕ c o s θ j → + 0 k → ⋅ 9 s e n 2 ϕ c o s θ i → + 9 s e n 2 ϕ s e n θ j → + 9 s e n ϕ c o s ϕ k → = 54 s e n 3 ϕ s e n θ c o s θ

Beleza! Agora que já temos r → ϕ × r → θ ,   v ( ϕ , θ ) e seu produto escalar, precisamos determinar d A e jogar na integral! O diferencial de área vai ser d A = d ϕ d θ entre os limites:

0 ≤ ϕ ≤ π 2   ( é   m e t a d e   d a   e s f e r a ! ) 0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:

∬ S ρ v → ⋅ d S → = ∬ h e m i s f é r i o ρ v → ⋅ ( r → ϕ × r → θ ) d A

j = 1025 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ( 54 s e n 3 ϕ s e n θ c o s θ ) d ϕ d θ = 1025 ∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ ∫ 0 π / 2 s e n 3 ϕ d ϕ

E agora temos duas integrais pra resolver. Olhando numa tabela de integrais temos:

j = 1025 . s e n 2 θ 2 0 2 π . cos ⁡ 3 θ 12 - 3 cos ⁡ θ 4 0 π / 2 = 0

Passo 2

Vamos ver agora para a região do plano x y , com x 2 + y 2 = 9 . O vetor normal à região é – k → . Então o produto escalar entre v → e k → é:

v → ⋅ - k → = 3 s e n θ ,   3 c o s θ , 0 ⋅ 0,0 , - 1 = 0

Então o integrando de ∬ S ρ v → ⋅ d S → é zero, portando a vazão aqui é zero.

Passo 3

Resgatando a integral do passo 1 e 2 temos:

j = 0 k g / s

Resposta

j = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
Calcule a integral de superfície ∫ ∫ SF ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação p
A temperatura de um ponto da bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro da
Determine uma fórmula para ∬ S F → ⋅ d S → semelhante à fórmula 10 para o caso onde S é dado por y = h ( x , z ) e n → é o vetor normal unitário que aponta para a esquerda.