Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 44
A água do mar tem densidade e escoa em um campo de velocidade , onde são medidos em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do hemisfério .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular a vazão vamos relembrar como é a fórmula:
Então, aqui temos duas regiões a considerar: a vazão para fora do hemisfério e também para fora do disco . Vamos por partes? Primeiro olhando o hemisfério: precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Uma parametrização possível é
Sendo assim, o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
E o vetor velocidade em termos dessas coordenadas é:
Vamos agora fazer o produto escalar entre e :
Beleza! Agora que já temos e seu produto escalar, precisamos determinar e jogar na integral! O diferencial de área vai ser entre os limites:
Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:
E agora temos duas integrais pra resolver. Olhando numa tabela de integrais temos:
Passo 2
Vamos ver agora para a região do plano , com . O vetor normal à região é . Então o produto escalar entre e é:
Então o integrando de é zero, portando a vazão aqui é zero.
Passo 3
Resgatando a integral do passo e temos: