Enunciado

Algumas das maiores marés no mundo acontecem na Baia de Fundy, na costa atlântica do Canada. No Hopewell Cape, a profundidade da água na maré baixa é cerca de 2,0m e na maré alta é cerca de 12,0m. O período natural de oscilação é de 12 horas e em 30 de Junho de 2009, a maior maré ocorreu às 6:45. Encontre uma função envolvendo a função cosseno que modele a profundidade da água D ( t ) em metros em função do tempo (em horas a partir da meia noite) naquele dia.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que encontremos uma função envolvendo a função cosseno que modele a profundidade da água D ( t ) em metros em função do tempo t (em horas a partir da meia noite).

Nesse sentido a nossa função terá uma parte constante (que é a média M do nível de água) e uma parte variável dada pelo cosseno.

Como a maré faz como que o nível da água oscile com o passar do tempo, vamos escolher uma função que modele esse movimento harmônico que vai ser nesse estilo aqui: D t = M + A c o s 2 π τ t - t 0

Onde A é a amplitude total da maré, ou seja, a metade da diferença entre a maior e a menor maré.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos entender quem é quem na nossa função.

Bom pessoal, a amplitude desta função pode ser encontrada pela metade da diferença entre a maior e a menor maré. Então:

A = 12 - 2 2 = 5 m

A média da amplitude (o centro) é dado por:

M = 12 + 2 2 = 7 m

Foi dito no enunciado que o período é de 12 h , assim teremos τ = 12 .

A maior maré ocorreu as 6 : 45 , ou seja ( t = 6,75 h ) .

Como o enunciado pede para que a nossa função seja uma função do tipo c o s s e n o , vamos escolher esse ponto de máxima maré para ser nosso t 0 , e não precisarmos de defasagens.

Perfeito.

Passo 3

Lembrando que a forma da equação é dada por:

D t = M + A c o s 2 π τ t - t 0

Podemos então substituir os valores que acabamos de encontrar diretamente na função, e teremos:

D t = 7 + 5 c o s 2 π 12 t - 6,75

Graficamente, a nossa função é dada da seguinte forma:

Resposta

D t = 7 + 5 c o s 2 π 12 t - 6,75

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