Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva:

r = 2 + s e n θ

r = 3 s e n θ

Passo 1

A região procurada é dada por:

Passo 2

Para encontrarmos a área desejada, calcularemos a área abaixo da curva r = 2 + s e n θ e retiraremos a área da curva r = 3 s e n θ .

Fazendo y = r s e n θ , temos que s e n θ = y r logo:

r = 3 y r ∴ 3 y = r 2

Porém r 2 = x 2 + y 2 , dessa forma, temos:

x 2 + y 2 - 3 y = 0  

Reconhecemos essa curva como um círculo de raio 3 2 , dessa forma, sua área é dada por A 1 = 9 4 π .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de r = 2 + s e n θ , lembramos que:

A = 1 2 ∫ a b r 2 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 2 + s e n θ 2 d θ

Passo 4

Podemos separar em 3 integrais:

A 2 = 1 2 ∫ 0 2 π 4 d θ + 1 2 ∫ 0 2 π 4 s e n θ d θ + 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ

A primeira integral é dada por:

2 ∫ 0 2 π d θ = 4 π

A segunda integral é dada por:

2 ∫ 0 2 π s e n θ d θ = - 2 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 = 0

Já na terceira temos:

1 2 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 1 2 1 - c o s 2 θ d θ = 1 4 (   ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π c o s 2 θ d θ )  

Ou seja,

1 4 2 π - s e n 2 π - s e n 0 = π 2

Assim, a área procurada é a subtração dessas 2 áreas, ou seja:

A 2 - A 1 = 4 π + π 2 - 9 4 π = 9 π 2 - 9 π 4 = 9 π 4

Resposta

A área da seção é 9 π 4 .

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Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 3 cos ⁡ θ r = 2 - cos ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 3 cos ⁡ θ r = 1 + cos ⁡ θ
Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas r = 1 + cos ⁡ θ r = 1 - cos ⁡ θ