Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

26. r = 1 + c o s θ , r = 2 - c o s θ

Passo 1

A figura abaixo mostra o gráfico das duas regiões:

Precisamos encontrar a área da região que está dentro da curva vermelha e fora da curva azul, os pontos onde elas se intersecionam serão os limites de integração da equação da área:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 - g θ 2 d θ

Para encontrarmos esses pontos, vamos igualar as equações das duas curvas:

1 + c o s θ = 2 - c o s θ

c o s θ = 1 2

θ = ± π 3

Como a região é simétrica em relação a ao eixo x, podemos integrar no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 e multiplicar a integral por dois. A equação da área então fica:

A = ∫ 0 π 3 1 2 1 + c o s θ 2 - 2 - c o s θ 2 d θ

Onde f θ = 1 + c o s θ e g θ = 2 - c o s θ .

Passo 2

Primeiro vamos resolver a integral indefinida, e ao final substituímos os limites:

∫ 1 2 1 + c o s θ 2 - 2 - c o s θ 2 d θ

Expandindo os polinômios:

∫ 1 2 1 + 2 c o s θ + c o s 2 θ - 4 + 4 c o s θ - c o s 2 θ d θ

Somando os termos:

∫ 1 2 - 3 + 6 c o s θ d θ

Integrando:

- 3 θ 2 + 3 s e n θ + c

Passo 3

Substituindo os limites:

A = - 3 π 6 2 + 3 s e n π 6 - - 3 0 2 + 3 s e n 0

A = 6 - π 4

Resposta

A = 6 - π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo y .65. x = 3 t 2 , y = 2 t 3 ,0 ≤ t ≤ 5
Se o arco da curva no Exercício 50 girar em torno do eixo x , estime a área da superfície resultante usando a Regra de Simpson com n = 4 .
Trace a curva x = 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ 2 θy = 2 s e nθ - s e n 2 θ Se essa curva girar em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante. (Use o gráfico para ajudar a encontrar o intervalo cor
Encontre a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r = f θ , a ≤ θ ≤ b (onde f ' é contínua e 0 ≤ ab ≤ π ) , em torno da reta θ = π 2 . Calcule a área da superfície gerada
Encontre a área da regiao sombreada, onde r = θ .