Enunciado

Encontre a área da região que é limitada pela curva dada e está localizada no setor especificado.

r = c o s θ ,     0 ≤ θ ≤ π 6

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = c o s θ

Queremos calcular a área da região delimitada por essa curva no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 6 .

Para isso, a gente tem que saber que a área A é dada pela seguinte integral:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Podemos aplicar diretamente a equação sobre a função r , com os limites dados no enunciado:

A = ∫ 0 π 6 1 2 r 2 d θ ∴

A = ∫ 0 π / 6 1 2 c o s 2 θ d θ

Passo 3

Vamos resolver a integral indefinida primeiro, depois substituímos os limites no final:

∫ 1 2 c o s 2 θ d θ

Podemos usar a seguinte relação trigonométrica para resolvermos a integral:

c o s 2 θ = 1 + c o s 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 1 4 1 + c o s 2 θ d θ

Separando em duas integrais e integrando:

θ 4 + 1 8 s e n 2 θ + c

Passo 4

E por fim, substituímos os limites (o limite inferior zera, sobrando apenas o superior):

A = π 6 4 + 1 8 s e n 2 π 6 ∴

A = 2 π + 3 3 48

Resposta

A = 2 π + 3 3 48

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