Enunciado

Alguns sistemas algébricos computacionais têm comandos que traçam retângulos aproximantes e calculam as somas de suas áreas, no mínimo se x i * é um extremo esquerdo ou direito.

  1. Se f x = x , 1 ≤ x ≤ 4 , ache as somas esquerda e direita para n = 10 , 30 , e 50 .
  2. Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte (a).
  3. Mostre que a área exata sob f está entre 4,6 e 4,7.

Passo 1

(a) Utilizando um programa, calculamos as somas esquerda e direita dos retângulos aproximantes para os três valores de n e obtemos:

  1. n = 10
  2. Direita: S = 4.814795

    Esquerda: S = 4.514795

  3. n = 30
  4. Direita: S = 4.716458

    Esquerda: S = 4.616458

  5. n = 5 0

Direita: S = 4.696591

Esquerda: S = 4.636591

Passo 2

(b) Vamos mostrar os retângulos para n = 10 pela esquerda e pela direita. Os retângulos para n = 30 e n = 50 são construídos da mesma forma, mas com intervalos menores e mais retângulos. Para n = 10 , cada intervalo tem um tamanho:

Δ x = 4 - 1 10 = 0,3

Para a soma direita, pegamos como altura de cada retângulo o valor da função no final de cada pequeno intervalo de tamanho 0,3. Por exemplo, o primeiro retângulo tem base indo de x = 1 ate x = 1,3 e sua altura é f 1,3 = 1,3 . Nossos retângulos então ficam assim:

Para a soma direita, pegamos como altura dos retângulos os valores da função no inicio de cada intervalo:

Passo 3

(c) Como podemos ver no item (b) pelas imagens, a aproximação direita calcula um valor que é na verdade maior que a área exata sob a curva, enquando a aproximação esquerda calcula um valor que é menor. No item (a), para n = 50 calculamos para a aproximação direita um valor de aproximadamente 4,7 e para a aproximação esquerda aproximadamente 4,7. Então, o valor exato é menor que 4,7 e maior que 4,6.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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