Enunciado

Provar, sem indução matemática, que

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

(teorema 5.4.7).

Sugestão: i 3 - i - 1 3 = 3 i 2 - 3 i + 1 ;

assim,

∑ i = 1 n i 3 - i - 1 3 =   ∑ i = 1 n ( 3 i 2 - 3 i + 1 )

No primeiro membro dessa equação usar o teorema 5.4.6:

∑ i = 1 n F i - F i - 1 = F n - F ( 0 )

No segundo membro, usar os teoremas 5.4.2:

∑ i = 1 n c = c n

Teorema 5.4.3:

∑ i = 1 n c F i = c   ∑ i = 1 n F ( i )

Teorema 5.4.4:

∑ i = 1 n F i + G i = ∑ i = 1 n F i + ∑ i = 1 n G ( i )

E a Fórmula 1:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Passo 1

Primeiramente, começamos utilizando a sugestão da questão:

∑ i = 1 n i 3 - i - 1 3 =   ∑ i = 1 n ( 3 i 2 - 3 i + 1 )

No primeiro termo, da esquerda, iremos aplicar o teorema 5.4.6, considerando que F i = i 3 .

∑ i = 1 n i 3 - i - 1 3 = n 3 - 0 3 = n 3

No segundo termo aplicamos o teorema 5.4.4:

∑ i = 1 n ( 3 i 2 - 3 i + 1 ) =   ∑ i = 1 n 3 i 2 -   ∑ i = 1 n 3 i + ∑ i = 1 n 1

Aplicando agora o teorema 5.4.3:

∑ i = 1 n 3 i 2 = 3   ∑ i = 1 n i 2

∑ i = 1 n 3 i = 3 ∑ i = 1 n i

Neste último, aplicamos a fórmula 1:

3 ∑ i = 1 n i =   3 n ( n + 1 ) 2

E o teorema 5.4.2 no último somatório:

∑ i = 1 n 1 = n

Passo 2

Desta maneira, ficamos com:

n 3 =   3 ∑ i = 1 n i 2 -   3 n ( n + 1 ) 2 + n

Isolando o somatório restante:

∑ i = 1 n i 2 =       n 3 + 3 n n + 1 2 - n   * 1 3    

Colocando n 2 em evidência:

∑ i = 1 n i 2 =       2 n 2 + 3 ( n + 1 ) - 2   * n 6    

Reorganizando:

∑ i = 1 n i 2 =       ( 2 n 2 - 2 ) + 3 ( n + 1 )   * n 6    

∑ i = 1 n i 2 =       2 ( n 2 - 1 ) + 3 ( n + 1 )   * n 6    

Lembrando da diferença de quadrados: ( n 2 - 1 2 ) = ( n + 1 ) ( n - 1 )

∑ i = 1 n i 2 =       2 ( n + 1 ) ( n - 1 ) + 3 ( n + 1 )   * n 6    

Colocando n + 1 em evidência:

∑ i = 1 n i 2 =       2 n - 1 + 3   ( n + 1 ) * n 6    

Resolvendo:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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