Enunciado

28. Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais:

d) p → x , y , z = e x y i → + ln ⁡ x z j → + 2 k →

Passo 1

Aqui vai uma dica pra te ajudar a ver se uma função é continua ou não.

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo  R .
  2. Funções raízes, para  x ≥ 0  em raízes pares  ( x 2 ,   x 4 … . ; )  e todo  R  para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo  R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como arcsen, arctg, etc. Para todo  R .
  5. Funções exponenciais, para todo  R .
  6. Funções logarítmicas, para todo  x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.
  8. Isso SEMPRE aparece. Se tu souber que essas funçõeszinhas são contínuas, tu consegue fazer todos os exercícios.

A condição de continuidade da função vetorial é aplicada segundo o mesmo princípio que utilizamos na definição do limite, ou seja, a função vetorial é contínua se as suas funções membro forem contínuas, mais precisamente, analisamos os valores do limite e da função em cada membro e definimos se a função vetorial resultante é contínua.

Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua caso o limite e a função no ponto em questão existam e sejam iguais.

Passo 2

Como temos uma função vetorial com 3 variáveis simples, podemos representar em qualquer espaço tridimensional, já que são funções simples e logarítmicas, e essas são contínuas em todo o domínio > 0 . Logo, é continua em I R 3   c o m   x z > 0

Resposta

É contínua em { x , y , z ∈ I R 3 | x z > 0 }

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37. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1 s ex , y = ( 0,0 )
38. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f x , y = x y x 2 + x y + y 2 s e( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 s ex , y = ( 0,0 )
Mostre que a função f dada por f x = x é contínua em R n . [Sugestão: Considere x - a 2 = x - a ∙ x - a. ]