Enunciado

Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível da integral a seguir.

∫ - 2 4 2 x 2 d x

Passo 1

Como visto nos exercícios anteriores temos as seguintes relações

(i) Se f ( x )   é continua em m ≤ f x para todo x em [a,b], então, segue que

m b - a ≤   ∫ b a f x d x

(ii) Se f ( x )   é continua em f x ≤ M para todo x em [a,b], então , segue que

∫ b a f x d x ≤   M b - a

A relação (i) nos permite calcular o menor valor da integral enquanto pela relação (ii) podemos calcular o seu valor máximo.

Mas para pra refletir quem são esses valores e como econtrá-los, lembra do teorema de Weierstrass ??

Vamos relembrá-lo...

Se f é uma função contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isso garante a existência de x m á x i m o   e x m i n i m o no intervalo, de modo que

f x m i n i m o ≤ f x ≤ f ( x m a x i m o )

Para todo x do nosso intervalo.

Se integrarmos a desigualdade acima chegamos nas relações (i) e (ii).

m b - a = f x m i n i m o b - a ≤ ∫ b a f x d x ≤   f x m a x i m o b - a = M ( b - a )

Passo 2

Estamos analisando uma função do segundo grau com concavidade para cima com raíz dupla igual a 0, portanto 0 é o ponto de mínimo global dessa equação como ela é uma função par, ela é simétrica em relação ao eixo y, portanto seu valor máximo nesse intervalo será para x = 4.

Portanto

m   = f 0 =   0   e   M = f 4 = 32

Passo 3

O valor máximo e minimo da integral será:

f 0 4 - - 2 = 0 ≤ ∫ - 2 4 2 x 2 d x ≤   f 4 4 - - 2 = 32 × 6

0 ≤ ∫ - 2 4 2 x 2 d x ≤ 192

Resposta

Valor mínimo = 0

Valor máximo = 192

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