Enunciado

Aproxime ∫ 0 2 x 3 d x com três casas decimais pela regra de Simpson, com n = 4. Compare o resultado com aquele obtido no exercício 1, e observe que a regra de Simpson leva a resultados mais precisos do que a regra do trapézio com o mesmo número de subintervalos.

Passo 1

Essa questão tem um número relativamente grande de passos, porém tem como sintetizar a maioria deles em uma tabela, e nós do Responde AÍ recomendamos que você faça assim na sua prova pois fica mais organizado e mais fácil de se obter o resultado. Então bora lá:

Primeira coisa a se fazer é conhecer a fórmula usada para responde essa questão que será essa:

∫ a b f x d x = b - a 3 n [ f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f ( x n ) ]

Onde:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e i o r   d a   i n t e g r a l

n = n ú m e r o   d e   p a s s o s

f x = f u n ç ã o   a p l i c a d a   n o   p o n t o   x   e s s a   f u n ç ã o   é   a   f u n ç ã o   d a   i n t e g r a l .

Bastante atenção nos índices do f ( x ) .

Vamos entender agora exatamente como vai funcionar essa coisa feia aí.

Passo 2

Agora vamos encontrar o valor que multiplica tudo:

b - a 3 n = 2 - 0 3 * 4 = 2 12 = 1 6

Passo 3

Vamos encontrar quantos f x   terão nossa solução. No problema dar as informações necessárias que são: n = 4 e os intervalos de integração.

Se encontra dessa forma:

b - a n = 2 - 0 4 = 1 2 = 0,5

Ou seja, terão f ( x ) igualmente espaçados em 0,5 começando no limite inferior ( a ) do nosso problema que no caso é zero.

Passo 4

Nesse passo é o que eu falei de sintetizar os passos. Construímos uma tabela no modelo que o livro fornece pra solucionar, logo:

Onde os k i são os índices que acompanhar os f ( x ) na equação do passo 1. E os f ( x i ) é a própria função f ( x ) aplicada nos pontos x i . Nesse caso f x =   x 3

Passo 5

Agora basta apenas aplicar a forma direto:

∫ 0 2 x 3 d x = 1 6 [ 0 + 0,500 + 2,000 + 13,500 + 8,000 ]

∫ 0 2 x 3 d x = 1 6 [ 24,000 ]

∫ 0 2 x 3 d x = 4,000

Quase no fim, calma.

Observa-se que a regra de Simpson dar um valor mais exato (que nesse caso chegou a ser exato) do que o feito no exercício 1 pela regra do trapézio (4,250).

Resposta

∫ 0 2 x 3 d x = 4,000

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A instrução para a integral ∫ 1 2 xd x , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.
A instrução para a integral ∫ - 1 1 ( x 2 + 1 )d x , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.
A instrução para a integral ∫ 1 2 1 s 2d s , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.
A instrução para a integral ∫ - 1 1 ( t 3 + 1 )d t , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.
A instrução para a integral ∫ - 2 0 ( x 2 - 1 )d x , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.