Enunciado

Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n → ∞ para calcular a área sob a curva ao longo de [ a , b ] .

f x = x 2 + 1 ao longo do intervalo [ 0,3 ] .

Passo 1

A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Em que Δ x é a norma da partição ( | | P | | ) e c i o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em n subintervalos iguais, temos:

Δ x = x f - x 0 n = 3 - 0 n = 3 n

Passo 3

Como os nossos pontos c i são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:

c i = i Δ x = 3 i n

Passo 4

Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

S P = ∑ i = 1 n 3 i n 2 + 1 ⋅ 3 n  

S P = ∑ i = 1 n 27 i 2 n 3 + 3 n  

S P = 27 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2 + 3 n ⋅ ∑ i = 1 n 1

Passo 5

Se utilizarmos a fórmula da soma nos primeiros n quadrados e regra do valor constante, temos:

S P = 27 n 3 ⋅ n n + 1 2 n + 1 6 + 3 n ⋅ n

S P = 9 ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) 2 n 2 + 3

S P = 9 + 27 2 n + 9 2 n 2 + 3

S P = 12 + 27 2 n + 9 2 n 2

Passo 6

Agora, basta resolvermos o limite de n → ∞ . Portanto:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i = lim n → ∞ ⁡ 12 + 27 2 n + 9 2 n 2 = 12

Resposta

A soma de Riemann é dada por:

S P = ∑ i = 1 n 27 i 2 n 3 + 3 n  

Quando n → ∞ a área abaixo da curva no intervalo [ 0 , 3 ] é dado por:

12

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n)∫ e 2 x d x
j)∫ x 2 + 3 x d x
a)∫ 3 d x
p)∫ ( e 2 x + e - x ) d x
t)∫ x 5 + x + 1 x 2 d x