Enunciado

Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n → ∞ para calcular a área sob a curva ao longo de [ a , b ] .

f x = x 2 - x 3 ao longo do intervalo [ - 1 , 0 ] .

Passo 1

A questão nos pede duas coisas: expressar a soma de Riemann e depois calculá-la. Então, o nosso primeiro passo é escrever esta soma. Vejamos então como ela é expressa:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Em que Δ x é a norma da partição ( | | P | | ) e c i o valor do ponto que iremos trabalhar, o qual no caso é a extremidade direita de cada subintervalo. Portanto, precisamos determinar primeiramente estes dois parâmetros para que possamos escrever a soma de Riemann. E, só depois disto, poderemos calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar por determinar a norma da nossa partição. Isto é, o maior comprimento dos subintervalos. Como a questão nos pediu para dividir em n subintervalos iguais, temos:

Δ x = x f - x 0 n = 0 - ( - 1 ) n = 1 n

Passo 3

Como os nossos pontos c i são dados pela extremidade direita dos subintervalos, cada um deles pode ser obtido através da seguinte expressão:

c i = - 1 + i Δ x = - 1 + i n

Passo 4

Agora, podemos escrever a nossa soma de Riemann. Assim, temos:

S P = ∑ i = 1 n f c i Δ x i

S P = ∑ i = 1 n - 1 + i n 2 - - 1 + i n 3 ⋅ 1 n  

S P = ∑ i = 1 n i 2 n 2 - 2 i n + 1 - i 3 n 3 - 3 i 2 n 2 + 3 i n - 1 ⋅ 1 n  

S P = ∑ i = 1 n - i 3 n 3 + 4 i 2 n 2 - 5 i n + 2 ⋅ 1 n  

S P = ∑ i = 1 n - i 3 n 4 + 4 i 2 n 3 - 5 i n 2 + 2 n  

S P = - 1 n 4 ⋅ ∑ i = 1 n i 3 + 4 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2 - 5 n 2 ⋅ ∑ i = 1 n i + 2 n ⋅ ∑ i = 1 n 1

Passo 5

Agora, precisamos utilizar a regra do valor constante, dos primeiros n números inteiros, quadrados e cubos, para transformar os somatórios em funções de n . Desta forma, temos:

S P = - 1 n 4 ⋅ n n + 1 2 2 + 4 n 3 ⋅ n n + 1 2 n + 1 6 - 5 n 2 ⋅ n n + 1 2 + 2 n ⋅ n

S P = - n 2 + 2 n + 1 4 n 2 + 2 2 n 2 + 3 n + 1 3 n 2 - 5 n + 1 2 n + 2

S P = - 1 4 - 1 2 n - 1 4 n 2 + 4 3 + 2 n + 2 3 n 2 - 5 2 - 5 2 n + 2

S P = 7 12 - 1 n + 5 12 n 2

Passo 6

Agora, basta resolvermos o limite de n → ∞ . Portanto:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i = lim n → ∞ ⁡ 7 12 - 1 n + 5 12 n 2 = 7 1 2

Resposta

A soma de Riemann é dada por:

S P = ∑ i = 1 n - i 3 n 4 + 4 i 2 n 3 - 5 i n 2 + 2 n  

Quando n → ∞ a área abaixo da curva no intervalo [ - 1 , 0 ] é dado por:

7 1 2

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s)∫ 3 x + 2 x 3 d x
r)∫ e 4 x + 1 x 2d x
o)∫ e - 2 x d x
m)∫ ( e x + 4 ) d x
h)∫ x + x 2 x 2 d x