Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.10 - Ex. 61

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Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.

y = x sen ⁡ x

Passo 1

Vamos substituir s en ⁡ x por sua série

s en ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! = x - x 3 6 + x 5 120 - …

Então temos que

y = x x - x 3 6 + x 5 120 - …

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômio, fazemos a divisão somente do primeiro termo do numerador com o primeiro do denominador e em seguida com o primeiro termo após a soma com o primeiro do denominador, assim segue até o infinito já que nossa série é infinita, mas como só precisamos de três termos, vamos fazer com os três primeiros termos da série do denominador.

x                                                                                                                   x - x 3 6 + x 5 120 - …

+

- x + x 3 6 - x 5 120 - …                                               1 + x 2 6 + 7 x 4 360 + …      

+

0 + x 3 6 - x 5 120 + …                                                                                                                  

- x 3 6 + x 5 36 + …                                                                                                            

+

0 + 7 x 5 360 + …                                                                                                  

- 7 x 5 360 + …                                                                                          

0 + …                                                                      

Lembrando que não acaba aqui, mas nós só precisamos dos três primeiros termos, então temos que

y = 1 + x 2 6 + 7 x 4 360 + …

Resposta

y = 1 + x 2 6 + 7 x 4 360 + …

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