Enunciado

Encontre a soma das séries.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte série:

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n pi^(2 n + 1))/(4^(2 n + 1) (2 n + 1) !)

Podemos reescrever a série como:

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n ((pi)/(4))^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)

Passo 2

Conforme já visto anteriormente na tabela 1 dessa seção, temos que:

sen x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n . (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)

Sendo assim, a nossa série em questão se resume a:

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n ((pi)/(4))^(2 n + 1))/((2 n + 1) !) = sen (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)

Resposta

sum_(n = 0)^(oo) ((- 1)^n pi^(2 n + 1))/(4^(2 n + 1) (2 n + 1) !) = (sqrt(2))/(2)

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