Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do ponto dado. A seguir, trace a curva e a reta tangente

x = sin ⁡ π t

y = t 2 + t  

X 0 ,   Y 0 = 0 , 2

Passo 1

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x * d t d t   → d y d t * d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Use a forma que achar melhor e que for mais fácil para resolver a nossa equação. Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente. Beleza, então temos essas equações

x = sin ⁡ π t

y = t 2 + t  

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 + t   d d t sin ⁡ π t  

Passo 2

Então nossa derivada fica :

d y d x = d d t t 2 + t   d d t sin ⁡ π t  

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= 2 t + 1   π  cos ⁡ π t

Passo 3

Diferente dos exercícios anteriores vamos precisar achar o valor de t para achar a inclinação da reta tangente

x = sin ⁡ π t

Se x = 0 , então nossa equação fica

sin ⁡ π t = 0

Então

t ∈ I   |   t =   0 ,     ± 1 ,     ± 2 …

Chegamos a um ponto que para solucionar nossa equação temos um conjunto de infinitas soluções. Como só precisamos de um ponto, qualquer valor que satisfizer a equação de y já nos é valido. Para descobrir t vamos precisar usar nossa equação para y

y = t 2 + t  

Precisamos que y = 2 .

t 2 + t = 2

t 2 + t - 2 = 0

t + 2 t - 1 = 0

t pode ser qualquer valor que satisfaz y. Vamos escolher então t = - 2

Beleza! Vamos em frente, vamos plotar esse valor de t na nossa derivada

d y d x =     2 t + 1   π cos ⁡ π t

= - 4 + 1 π

= - 3 / π

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = a x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. E desta vez o nosso enunciado já nos deu os pontos :

x 0 ,   y 0 = 0 , 2

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = a x - x 0

y - 2 = - 3 π (   x   )

Passo 4

Por fim, vamos desenhar esse gráfico e ver como ele se comporta geometricamente

A Curva é nossa função parametrizada. E a reta laranja é nossa reta tangente ao ponto P. Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

y - 2 = - 3 π (   x   )

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