Enunciado

Expresse F ( x ) por partes, de forma que não envolva uma integral.

F x = ∫ 0 x f ( t ) d t , onde f ( x ) = x ,       0 ≤ x ≤ 2   2 ,       x > 2

Passo 1

Para expressar essa função sem a integral precisaremos calcular essa integral. O pulo do gato aqui é que a função a ser integrada é uma função definida por partes:

f t = t ,       0 ≤ t ≤ 2   2 ,       t > 2

Como nossa integral envolve valores entre 0 e 2, precisamos dividir o cálculo dela respeitando a definição da função f ( x ) .

E como queremos definir F ( x ) , iremos analisar o que acontece quando 0 ≤ x ≤ 2 e x > 2 , levando essa definição de f ( x ) em conta. Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar avaliando a função para 0 ≤ x ≤ 2 . Olha como a função está definida:

F x = ∫ 0 x f t d t

Nesse intervalo, onde x é um valor entre 0 e 2 , a nossa integral vai estar entre 0 e 2 também, o que significa que a função na integral pode ser substituída por:

f t = t

E aí montando a integral temos que:

F x = ∫ 0 x t d t = t 2 2 ​ 0 x

F x = x 2 2

Passo 3

Agora olhando para x > 2 .

Nesse caso, se consideramos x como um valor maior que 2 , nossa integral vai ter que ser dividida em duas integrais, onde para:

0,2 ,     f t = t

2 , x ,     f t = 2

Aí calculando a integral:

F x = ∫ 0 2 t d t + ∫ 2 x 2 d t = t 2 2 ​ 0 2 + 2 t ​ 2 x = 2 + 2 x - 4 = 2 x - 2

Passo 4

Agora é só escrever a definição bonitinha da nossa função:

F ( x ) = x 2 2 ,       0 ≤ x ≤ 2   2 x - 2 ,       x > 2

Fofa, né?

Resposta

F ( x ) = x 2 2 ,       0 ≤ x ≤ 2   2 x - 2 ,       x > 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a integral indefinida geral. ∫ 5 + 2 3 x 2 + 3 4 x 3 d x
Encontre a integral indefinida geral. ∫ 2 + tan 2 ⁡ θ d θ
Encontre a integral indefinida geral. ∫ 2 t 1 + 5 t d t
Encontre a integral indefinida geral. ∫ 1 + r r 2 d r
Encontre a integral indefinida geral ∫ 1 + x + x x d x