Enunciado

Associe as equações paramétricas aos gráficos I - V I . Dê razões para suas escolhas.

  1. x t = t 4 - t + 1   ; y t = t 2
  2. x t = t 2 - 2 t     ;     y t = t
  3. x t = sen ⁡ 2 t     ;     y t = sen ⁡ ( t + sen ⁡ 2 t )
  4. x t = cos ⁡ 5 t     ;     y t = sen ⁡ 2 t
  5. x = t + sen ⁡ 4 t     ;     y t = t 2 + cos ⁡ 3 t
  6. x t = sen ⁡ 2 t 4 + t 2     ;     y t = cos ⁡ 2 t 4 + t 2

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... o enunciado nos deu váias equações paramétricas, se liga:

  1. x t = t 4 - t + 1   ; y t = t 2
  2. x t = t 2 - 2 t     ;     y t = t
  3. x t = sen ⁡ 2 t     ;     y t = sen ⁡ ( t + sen ⁡ 2 t )
  4. x t = cos ⁡ 5 t     ;     y t = sen ⁡ 2 t
  5. x = t + sen ⁡ 4 t     ;     y t = t 2 + cos ⁡ 3 t
  6. x t = sen ⁡ 2 t 4 + t 2     ;     y t = cos ⁡ 2 t 4 + t 2

E nos deu esses gráficos:

Queremos relacionar cada equação paramétrica com cada gráfico.

Para isso, vamos analisar cada equação e verificar o que acontece com x e y a cada t aplicado.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Aqui na letra (a), temos

x t = t 4 - t + 1

y t = t 2

Se t = 0 , temos

x 0 = 1

y 0 = 0

Logo, vemos que o ponto inicial da curva ocorre em x , y = 1,0 .

Com essa afirmação, já percebemos que a curva V faz total sentido.

Mas vamos ver o que acontece no infinito?

Quando o t → ± ∞ temos que:

x → + ∞

y → + ∞

Logo, vemos que na curva V tanto o x quanto y tende ao infinito positivo. Assim, podemos concluir que trata-se da curva V .

Passo 3

Agora vamos analisar as equações da letra (b):

x t = t 2 - 2 t  

  y t = t

De forma análoga, vamos analisar de onde parte a curva quando t = 0 :

x 0 = 0 2 - 2 ∙ 0 = 0  

E

y 0 = 0 = 0

Então a nossa curva parte da origem. Mas essa informação não tão relevante porque todas as curvas que sobraram parecem partir desse ponto haha.

Mas se liga: a gente já sabe que o y não tá definido para valores negativos, pois é uma raiz.

Então só pode ser a opção I ou I V .

Assim, nos resta analisar o comportamento da função no infinito:

Quando o t → ∞ temos que

x → + ∞

y → + ∞

E, dentre as curvas I e I V , apenas a curva I está tendendo para + ∞ .

Passo 4

Analisando as equações da letra (c), temos:

x t = sen ⁡ 2 t

y t = sen ⁡ ( t + sen ⁡ 2 t )

Se fazemos t = 0 , temos

x 0 = sen ⁡ 2 ∙ 0 = 0

E

y 0 = sen ⁡ ( 0 + sen ⁡ 2 ∙ 0 ) = 0

Note que x é periódica, com período igual a 2 π , então a interseção com o eixo y só acontece quando x = 0 , ou seja, quando:

sen ⁡ 2 t = 0

Que por sua vez, só ocorre quando:

2 t = 0

t = 0

Ou

2 t = π

t = π 2

Logo, existem dois pontos na curva parametrizada em que a curva corta o eixo y . Já sabemos que devemos procurar por uma curva com essa característica.

Além disso, pelas propriedades que vem lá da trigonometria, temos que:

x - t = sen ⁡ 2 - t

x - t = - sen ⁡ 2 t

x - t = - x ( t )

E

y - t = sen ⁡ - t + sen ⁡ 2 - t

y - t = sen ⁡ - t - sen ⁡ 2 t

y - t = - sen ⁡ t + sen ⁡ 2 t

y - t = - y ( t )

Assim, nossa curva é tipo aquela parada de função ímpar, então podemos dizer que ela é simétrica em relação a origem.

E a curva I I é total simétrica em relação a origem e ela corta o eixo y em dois pontos, além de passar pela origem. Beleza?

Passo 5

Analisando as equações da letra (d), temos:

x t = cos ⁡ 5 t

y t = sen ⁡ 2 t

Se t = 0 temos

x 0 = 1

y 0 = 0

Além disso,

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

E o único gráfico que inclui o ponto ( 1,0 ) e mantém x e y nesse intervalo é o gráfico da figura V I .

Passo 6

Analisando as equações da letra (e), temos:

x = t + sen ⁡ 4 t

y t = t 2 + cos ⁡ 3 t

Se fizermos t = 0 temos o ponto

x 0 = 0

y 0 = 1

Sabemos que as funções seno e cosseno estão limitadas entre - 1 e 1 para todo sempre na vida.

Das duas opções que nos restam, só uma está limitada entre - 1 e 1 , que é a opção I I I .

Acontece que aqui na letra (e), nossa curva tem um t e um t 2 somados em cada uma das componentes.

Isso significa que se a gente fizer t → + ∞ nossa curva vai tender a + ∞ também.

E se fizermos t → - ∞ o x → - ∞ mas o y → + ∞ . E a curva I V representa EXATAMENTE isso!

UHUUUUL!!

Passo 7

Por fim, analisando a letra (f), temos:

x t = sen ⁡ 2 t 4 + t 2

y t = cos ⁡ 2 t 4 + t 2

Se t = 0 :

x 0 = 0

y 0 = 1 4 = 0,25

O único gráfico que passa por esse ponto é o gráfico da curva I I I .

Resposta

a = V   ; b = I   ; c = I I   ; d = V I   ; e = I V   ; f = I I I

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