Enunciado

  1. Encontre equações paramétricas para a elipse
  2. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

  3. Use as equações paramétricas para traçar a elipse quando a = 3 e b = 1 ,   2 ,   4   e   8
  4. Como muda o formato da elipse quando b varia?

Passo 1

a )

Olha pra equação da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Repara que é uma soma de termos ao quadrado que é igual a 1.

Isso lembra bastante uma outra equação que também é assim. Essa daqui óh:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Então, parece uma boa igualar essas coisas que estão ao quadrado:

x a = cos ⁡ t

y b = sen ⁡ t

Isolando o x e o y , vamos ter

x t = a cos ⁡ t

y t = b sen ⁡ t

Pensando do mesmo jeito que a circunferência, teremos

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Pronto! Encontramos as equanções paramétricas para a elipse do problema

Passo 2

b )

Agora vamos usar as equações paramétricas que achamos, para traçar, com o auxílio de um programa gráfico, as elipses com a fixo igual a 3 e b com os valores variados que a questão pede.

Vamos lá, nossa parametrização vai ser, para b = 1 :

x t = 3 cos ⁡ t

y t = sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

Passo 3

Agora, para b = 2 :

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

Passo 4

Agora, para b = 4 :

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 4 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

Passo 5

E, para b = 8 :

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 8 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

Passo 6

c )

Conforme foi aumentando o valor de b o que aconteceu foi que a elipse foi ficando mais achatada no eixo y , pois o b representa o tamanho do semieixo vertical da elipse.

Resposta

a )

x t = a cos ⁡ t

y t = b sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

b )

x t = 3 cos ⁡ t

y t = sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 4 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 8 sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Plotando isso:

c )

Conforme foi aumentando o valor de b o que aconteceu foi que a elipse foi ficando mais achatada no eixo y , pois o b representa o tamanho do semieixo vertical da elipse.

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Esboce a curva com a equação dada.r = theta , theta = 0
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Esboce a curva com a equação dada.r^2 - 3 r + 2 = 0
Esboce a curva com a equação dada.r = 2 + sen theta
Esboce a curva com a equação dada.r^2 = cos 4 theta