Enunciado

A astríde x 2 3 + y 2 3 = 2 2 3 tem equações paramétricas x = 2 cos 3 ⁡ t , y = 2 sin 3 ⁡ t , t ∈ 0,2 π (exercício 8). Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente a t = π 4 .

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar que retas tangentes requerem informações de um ponto de tangência de inclinação. Pra descobrir a inclinação, usamos a derivada da curva parametrizada:

σ t = 2 cos 3 ⁡ t , 2 sin 3 ⁡ t

Fazendo regra da cadeia:

σ ' t = - 6 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t , 6 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t

No ponto t = π 4 do enunciado temos:

σ ' π 4 = - 6 ∙ cos 2 ⁡ π 4 ∙ sin ⁡ π 4 , 6 ∙ sin 2 ⁡ π 4 ∙ cos ⁡ π 4

σ ' π 4 = - 6 ∙ 2 2 2 ∙ 2 2 , 6 ∙ 2 2 2 ∙ 2 2

σ ' π 4 = - 6 ∙ 2 4 ∙ 2 2 , 6 ∙ 2 4 ∙ 2 2

σ ' π 4 = - 3 2 2 , 3 2 2

Passo 2

Agora pra informações do ponto de tangência, basta fazer:

σ π 4 = 2 cos 3 ⁡ π 4 , 2 sin 3 ⁡ π 4

σ π 4 = 2 2 2 3 , 2 2 2 3

σ π 4 = 2 ∙ 2 2 8 , 2 ∙ 2 2 8

σ π 4 = 2 2 , 2 2

Passo 3

Escrevendo a equação da reta tangente de forma parametrizada como:

x = a t + b

y = c t + d

Como:

σ ' π 4 = - 3 2 2 , 3 2 2

σ π 4 = 2 2 , 2 2

Teremos:

x = - 3 2 2 ∙ t + 2 2

y = 3 2 2 ∙ t + 2 2

Resposta

x = - 3 2 2 ∙ t + 2 2

y = 3 2 2 ∙ t + 2 2

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