Enunciado

Seja C a curva parametrizada por σ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 - 2 sin ⁡ t ,           0 ≤ t ≤ 2 π .

b) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto - 1,0 , 1 .

Passo 1

Bora lá galera! De uma forma geral, uma reta tangente a determinada curva parametrizada pode ser escrita como:

r t = σ ' t o ∙ t + σ t o

Onde t o é o valor do parâmetro t no ponto de tangência. Achando esse valor, temos:

σ t o = cos ⁡ t o , sin ⁡ t o , 1 - 2 sin ⁡ t o =   - 1,0 , 1

cos ⁡ t o = - 1 sin ⁡ t o = 0 1 - 2 sin ⁡ t o = 1

O que é o mesmo que:

cos ⁡ t o = - 1 sin ⁡ t o = 0 sin ⁡ t o = 0

O valor de 0 ≤ t o ≤ 2 π que satisfaz essas condições é

t o = π

Passo 2

Show, falta achar então σ ' t o . Pra isso derivamos primeiro e aplicamos t o = π depois, tranquilo?

σ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 1 - 2 sin ⁡ t

σ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ t

σ ' π = - sen ⁡ π , cos ⁡ π , - 2 cos ⁡ π

σ ' π = 0 , - 1 , 2

A equação da reta tangente fica:

r t = σ ' t o ∙ t + σ t o

r t = 0 , - 1,2 ∙ t + - 1,0 , 1

r t = - 1 , - t , 2 t + 1

Resposta

r t = - 1 , - t , 2 t + 1

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