Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x ,   y ) quando t varia no intervalo dado

y =   2 cos ⁡ t

  x = 5 sin ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Vamos descobrir como lemos funções no formato paramétrico.

Nossas equações são:

y =   2 cos ⁡ t

  x = 5 sin ⁡ t

E uma forma de encontrarmos o movimento da nossa partícula é criarmos uma tabela para diferentes valores de t e seus respectivos valores para x e y .

Ao criarmos nossa tabela, deveremos nos atentar para o intervalo de t , que é:

- π ≤ t ≤ 5 π

Após criarmos nossa tabela, iremos colocar os pontos no plano cartesiano utilizando um software gráfico, estarei utilizando o GeoGebra, você pode utilizar um da sua preferência. Com os pontos em mão, conseguiremos entender o comportamento da curva.

Passo 2

Criando então a nossa tabela de valores, temos:

A partícula, descrita por equações paramétricas, se move ao longo da curva na direção das setas conforme t aumenta. Vemos que ela começa no ponto 0 , - 2 e termina no ponto 0 ,   - 2 . A partícula percorre a curva 3 vezes.

A partícula continua se movendo ao longo da elipse no sentido horário. Completa a primeira revolução em t   =   π . Completa a segunda revolução em t   =   3 π . Completa a terceira revolução em t   =   5 π .

No nosso gráfico você pode acompanhar o movimento da partícula. Mas essa forma de resolver não é a única forma, a gente pode também voltar a equação paramétrica para a forma cartesiana, e assim encontrarmos uma equação conhecida. Vamos fazer isso.

Passo 3

Então, nos é dado:

x = 5 sin ⁡ t

y = 2 cos ⁡ t

Podemos reescrever como:

x 5 = sin ⁡ t

y 2 = cos ⁡ t

Vamos então utilizar da identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

x 5 2 + y 2 2 = 1

Podemos concluir que a partícula se move em uma elipse. Pois essa é uma equação da elipse.

Resposta

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