Enunciado

Na ausência de amortecimento, o movimento de um sistema mola-massa satifez o problema de valor inicial

m s ' ' + k s = 0 ,           s 0 = a ,           s ' 0 = b

(a) Mostre que a energia cinética dada inicialmente à massa é m b 2 / 2 e que a energia potencial armazenada inicialmente na mola é k a 2 / 2 , de modo que a energia total inicial do sistema é k a 2 + m b 2 / 2 .

(b) Resolva o problema de valor inicial dado

(c) Usando a solução do item (b), determine a energia total no sistema em qualquer instante t . Seu resultado deve confirmar o príncipio de conservação de energia para este sistema.

Passo 1

Obs: O enunciado da versão 10 do Boyce apresenta o erro na equação. O termo que acompanha k é s e não s ' . Isso pode ser percebido pelo próprio enunciado quando o mesmo informa que não há amortecimento.

Primeira coisa que devemos perceber sem nem tentar resolver nosso problema, é que ele se refere a um oscilador armonico infinito.

Aqui temos uma ilustração do nosso sistema físico

Passo 2

Sabendo que temos uma massa oscilando com a ajuda de uma mola, vamos olhar para as condições iniciais e entender o que elas nos diz.

Vamos equacionar o problema com base na ilustração do passo 1

k x = m g

Na qual k é a constante da mola, x o deslocamento que a mola sofre ao se colocar uma massa presa a ela, m é a massa e g a aceleração da gravidade.

Seja a Energia Potencial dada por definição

U = k x 2 2

Se a mola deslocou uma distância a de seu tamanho original ao colocarmos a massa m presa a ela, temos que a energia potencial é dada em t = 0 por

U = k a 2 2

O mesmo discutiremos para a Energia Cinética, que é dada por definição por

K = m v 2 2

Em t = 0 temos que v = b como é dado pelo condição inicial, assim temos que a Energia Cinética inicial é

K = m b 2 2

Por fim temos que a energia total é dada pela soma de todas as energia presente no sistema. Entretanto só temos duas energia presente em um sistema massa mola, Potêncial e Cinética, Assim

E = U + K = k a 2 2 + m b 2 2 = k a 2 + m b 2 / 2

Passo 3

Agora vamos resolver nosso problema de valor inicial. Existe várias maneiras de resolver nosso problema. Um deles é supor uma solução dada por s = e r t e tentar achar a raízes r do nosso problema.

Seguinte esse procedimento, chegamos na nossa solução característica dada por

r 2 + ω 2 = 0

Na qual definimos que ω = k / m

Desta forma temos que

r = ± ω i

Que sugere para gente uma solução

s = A e ω t i + B e - ω t i = C cos ⁡ ω t + D   s e n   ω t

Vamos trabalhar com a segunda forma de escrever nossa solução, que parece ser mais fácil. Assim tome as condições iniciais como

C cos ⁡ 0 + D   s e n 0 = a ω - C   s e n 0 + D cos ⁡ 0 = b

Assim já conseguimos determinar que

C = a D = b ω

E nossa solução geral é

s t = a cos ⁡   ω t + b ω s e n   ω t

Passo 4

Agora vamos fazer o seguinte, seja s t = a cos ⁡   ω t + b ω s e n   ω t

Então

s ' t = - a ω   s e n   ω t + b cos ⁡   ω t

Assim, primeira a energia Potencial

U = k x 2 2 = k 2 a cos ⁡ ω t + b ω s e n   ω t 2 = k 2 a 2 cos 2 ⁡ ω t + k b 2 2 ω 2 s e n 2 ω t + k a b ω cos ⁡ ω t s e n ω t

e a energia cinética

K = m v 2 2 = m 2 - a ω   s e n   ω t + b cos ⁡   ω t 2 = m a 2 ω 2 s e n 2 ω t + m b 2 2 cos 2 ⁡ ω t - a b ω m   s e n ω t cos ⁡ ω t

Assim temos que a energia Total é dada por

E = U + K = k 2 a 2 cos 2 ⁡ ω t + k b 2 2 ω 2 s e n 2 ω t + k a b ω cos ⁡ ω t s e n ω t + m a 2 ω 2 2 s e n 2 ω t + m b 2 2 cos 2 ⁡ ω t - a b ω m   s e n ω t cos ⁡ ω t

Como lembramos ω 2 = k / m , então

m a 2 ω 2 = a 2 k

E

k b 2 2 ω 2 = k b 2 2 m k = m b 2 2

Além disso temos que

k ω = k ω ω 2 = k ω m k = m ω

Assim nossa energia total se transforma em

E = k 2 a 2 cos 2 ⁡ ω t + s e n 2 ω t + m b 2 2 s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t = k a 2 + m b 2 / 2

Ou seja, nossa energia total é contante ao longo do tempo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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