Avalie a integral:

∫ 1 3 e 3 / x x 2   d x

Passo 1

Em primeiro lugar temos que dar um jeito naquele 3 / x dentro de exponencial. Então vamos fazer uma substituição:

t = 3 / x

d t = - 3 x 2 d x         ⇒         d x = - x 2 3   d t

Substituindo isso na nossa integral indefinida, ficamos com:

I = ∫ e 3 x x 2   d x = ∫ e t x 2     - x 2 3   d t

I = - ∫ e t 3   d t

E então ficamos só com a integral de uma exponencial:

I = - 1 3 ∫ e t   d t = - 1 3 e t + C

Passo 2

Agora vamos “desfazer” a nossa substituição:

t = 3 x

I = - 1 3 e 3 x + C

E temos que avaliar esse resultado quando x varia de x = 1 até x = 3 :

I x = 1 = - 1 3 e 3

I x = 3 = - 1 3 e 1

Então a integral é:

∫ 1 3 e 3 / x x 2   d x = - 1 3 e + 1 3 e 3 = 1 3 e 3 - e

Resposta

A integral vale 1 3 e 3 - e .

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