Avalie a integral.

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x

Passo 1

Vamos responder esse probleminha!! Bom, a primeira ideia é resolver a fração parcial, como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos realizar a divisão, da seguinte forma:

x 3 + 0 x 2 - 4 x + 1           |       x 2 - 3 x + 2

- x 3 + 3 x 2 - 2 x                             |   x                                                      

3 x 2 - 6 x + 1                                       |   x + 3                                      

- 3 x 2 + 9 x - 6                                                 |   x + 3                                                        

3 x - 5                                                                                 |   x + 3                                                        

Assim,

x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 = x 2 - 3 x + 2 x + 3 + ( 3 x - 5 )

Ou dividindo por x 2 - 3 x + 2 :

x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 = x + 3 + 3 x - 5 x 2 - 3 x + 2

Podemos reduzir x 2 - 3 x + 2 a ( x - 1 ) ( x - 2 ) , logo

x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 = x + 3 + 3 x - 5 ( x - 1 ) ( x - 2 )

Passo 2

Agora podemos aplicar as frações parciais:

3 x - 5 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = A x - 1 + B x - 2

Multiplicando tudo por ( x - 1 ) ( x - 2 ) , temos:

3 x - 5 = A x - 2 + B ( x - 1 )

Aplicamos valores para x de modo a cancelar um dos termos:

  • x = 2
  • 3 × ( 2 ) - 5 = A 2 - 2 + B ( 2 - 1 )

    1 = B

  • x = 1

3 × ( 1 ) - 5 = A 1 - 2 + B ( 1 - 1 )

- 2 = A -           ∴       A = 2

Substituindo, vamos ter que:

3 x - 5 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x + 3 + 2 x - 1 + 1 x - 2

Agora é só integrar!!

Passo 3

Aplicando a integração:

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ - 1 0 x + 3 + 2 x - 1 + 1 x - 2 d x

Tanto para x - 1   quanto para x - 2   a substituição será de u = x - 1 e d u = d x , logo

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = ∫ - 1 0 x + 3 + 2 u + 1 u d x

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = x 2 2 + 3 x + 2 ln ⁡ u + ln ⁡ u - 1 0

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = x 2 2 + 3 x + 2 ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 2 - 1 0

= 0 2 2 + 0 + 2 ln ⁡ 0 - 1 + ln ⁡ 0 - 2 - ( - 1 ) 2 2 + 3 ( - 1 ) + 2 ln ⁡ - 1 - 1 + ln ⁡ - 1 - 2

Assim, temos que

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = 5 2 - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

Prontinho!!

Resposta

∫ - 1 0 x 3 - 4 x + 1 x 2 - 3 x + 2 d x = 5 2 - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

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