Avalie a integral.

∫ t sin ² ⁡ t d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos aplicar integração por partes. Fica assim:

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

Logo, substituindo:

u = t

d u = d t

d v = sin 2 ⁡ t

v = 1 2 x - 1 2 sin ⁡ 2 t   d t

Passo 2

Então, vamos utilizar substituir na fórmula:

∫ u   d v = ( t ) 1 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t - ∫ 1 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t d t

Passo 3

Por fim, vamos integrar em t :

∫ 1 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t d t

Pela regra da adição:

1 2 ∫ t d t - 1 4 ∫ sin ⁡ 2 t d t

Na primeira, temos:

1 2 ∫ t d t t 2 4 + C 1

Já para a segunda, precisamos usar a regra da substituição:

1 4 ∫ sin ⁡ 2 t d t

2 t = u d u 2 = d t

Substituindo:

1 8 ∫ sin ⁡ u d u

1 8 cos ⁡ u + C 2

Voltando:

1 8 cos ⁡ ( 2 t )

Agora é só unirmos tudo:

t 1 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t - 1 8 cos ⁡ 2 t - t 2 4 + C

Resposta

t 1 2 t - 1 2 sin ⁡ 2 t - 1 8 cos ⁡ 2 t - t 2 4 + C

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