Enunciado

Avalie a integral.

int t sin ² t d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos aplicar integração por partes. Fica assim:

int u d v = u v - int v d u

Logo, substituindo:

u = t

d u = d t

d v = sin^2 t

v = (1)/(2) (x - (1)/(2) sin (2 t)) d t

Passo 2

Então, vamos utilizar substituir na fórmula:

int u d v = ( t ) (1)/(2) (t - (1)/(2) sin (2 t)) - int (1)/(2) (t - (1)/(2) sin (2 t)) d t

Passo 3

Por fim, vamos integrar em t :

int (1)/(2) (t - (1)/(2) sin (2 t)) d t

Pela regra da adição:

(1)/(2) int (t) d t - (1)/(4) int (sin (2 t)) d t

Na primeira, temos:

(1)/(2) int (t) d t (t^2)/(4) + C_1

Já para a segunda, precisamos usar a regra da substituição:

(1)/(4) int (sin (2 t)) d t

2 t = u (d u)/(2) = d t

Substituindo:

(1)/(8) int (sin (u)) d u

(1)/(8) cos u + C_2

Voltando:

(1)/(8) cos ( 2 t )

Agora é só unirmos tudo:

(t) (1)/(2) (t - (1)/(2) sin (2 t)) - (1)/(8) cos (2 t) - (t^2)/(4) + C

Resposta

(t) (1)/(2) (t - (1)/(2) sin (2 t)) - (1)/(8) cos (2 t) - (t^2)/(4) + C

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