Avalie a integral.

∫ cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ d θ

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos separar a função seno. Fica assim:

∫ cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ d θ = ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

sin ² ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo na nossa integral:

∫ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ( 1 - cos ² ⁡ θ ) d θ

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = cos ⁡ θ

d θ = - d u sin ⁡ θ

Substituindo u e d u / d θ   , temos:

∫ u sin ⁡ θ ( 1 - u ² ⁡ ) - d u sin ⁡ θ

∫ - u + u 5 / 2   d u  

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

∫ - u + u 5 / 2   d u

Pela regra da adição:

= - ∫ u   d u + ∫ u 5 2   d u

2 7 u 7 / 2 - 2 3 u 3 / 2  

Substituindo u :

- 2 3 cos 3 2 ⁡ θ + 2 7 cos 7 / 2 ⁡ θ + C

Resposta

- 2 3 cos 3 2 ⁡ θ + 2 7 cos 7 / 2 ⁡ θ + C

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