Avalie a integral.

∫ sin ⁡ x cos ⁡ 1 2 x d x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos lembrar da seguinte identidade:

cos ⁡ t sin ⁡ s = sin ⁡ s + t + sin ⁡ s - t 2

Substituindo na nossa integral:

∫ sin ⁡ x + 1 2 x + sin ⁡ x - 1 2 x 2 d x

= 1 2 ∫ sin ⁡ x + 1 2 x + sin ⁡ x - 1 2 x d x

= 1 2 ∫ sin ⁡ 3 x 2 + sin ⁡ x 2 d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = 3 x 2

2 d x 3 = d u

E também:

v = x 2

2 d v = d x

Substituindo u , v , d u / d x , d u / d v , temos:

1 3 ∫ sin ⁡ u d u + ∫ sin ⁡ v   d v

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e v , depois substituir:

1 3 ∫ sin ⁡ u d u + ∫ sin ⁡ v   d v

Integrando:

- 1 3 cos ⁡ u - cos ⁡ v + C  

Substituindo u e v :

- 1 3 cos ⁡ 3 x 2 - cos ⁡ x 2 + C

Resposta

- 1 3 cos ⁡ 3 x 2 - cos ⁡ x 2 + C

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