Enunciado

A área de um triângulo que possiu lados a e b e ângulo entre eles de θ   é dada por:

A = 1 2 a b s e n θ

Calcule a taxa de crescimento da área quando:

  1. a = 2 ; b = 3 ; d θ d t = 0,2 ; θ = π 3
  2. a = 2 ; d b d t = 1,5 ; d θ d t = 0,2 ; b = 3 ; θ = π 3
  3. d a d t = 2,5 ; d b d t = 1,5   ; d θ d t = 0,2   ; a = 2 ; b = 3 ; θ = π 3

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema é de taxa relacionada. Sabemos que a área do triângulo é dada por:

A = 1 2 a b s e n θ

Logo, para achar a taxa de crescimento, basta derivar em relação a variável que queremos encontrar a variação. Utilizaremos aqui a derivação implícita então, vamos derivar como se tudo fosse variável e depois aplicar os valores:

Passo 2

d A d t = d a d t 1 2 b s e n θ + d b d t 1 2 a s e n θ + dθ dt cos ⁡ θ   1 2 a b

Agora vamos aos valores.

  1. a = 2 ; b = 3 ; d θ d t = 0,2 ; θ = π 3
  2. d A d t = dθ dt cos ⁡ θ   1 2 a b = 0,3

  3. a = 2 ; d b d t = 1,5 ; d θ d t = 0,2 ; b = 3 ; θ = π 3
  4. d A d t = + d b d t 1 2 a s e n θ + dθ dt cos ⁡ θ   1 2 a b = 1,599

  5. d a d t = 2,5 ; d b d t = 1,5   ; d θ d t = 0,2   ; a = 2 ; b = 3 ; θ = π 3

d A d t = d a d t 1 2 b s e n θ + d b d t 1 2 a s e n θ + dθ dt cos ⁡ θ   1 2 a b

d A d t = 4,84

Resposta

  1. d A d t = 0,23  
  2. d A d t = 1,599
  3. d A d t = 4,84
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