Avalie a integral.

∫ tan 3 ⁡ x sec ⁡ x d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para isso, vamos aplicar a regra da substituição. Entretanto, primeiro, vamos manipular a nossa integral. Fica assim:

∫ tan 2 ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x d x

Agora, devemos lembrar da seguinte identidade:

- 1 + sec 2 ⁡ x = tan 2 ⁡ x

Logo, substituindo:

∫ tan ⁡ x - 1 + sec 2 ⁡ x sec ⁡ x d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

sec ⁡ x = u

d x = d u tan ⁡ x sec ⁡ x

Substituindo:

∫ tan ⁡ x sec ⁡ x - 1 + u ² d u tan ⁡ x sec ⁡ x  

∫ u 2 - 1   d u  

Pela regra da adição:

∫ u 2 d u - ∫ d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u . Na primeira, temos:

∫ u 2 d u

u 3 3 + C 1

Já para a segunda:

∫ d u

u + C 2

Substituindo u nas duas:

= sec 3 ⁡ x 3 - sec ⁡ x + C

Resposta

sec 3 ⁡ x 3 - sec ⁡ x + C

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