Avalie a integral.

∫ 1 3 tan - 1 ⁡ t t d t

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos uma divisão, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, então fazemos substituições!!

Para o valor de u , vamos ter

u = t

E a derivada disso é d u = d t 2 t . Substituimos os valores:

∫ 1 3 tan - 1 ⁡ t t d t = ∫ 1 3 tan - 1 ⁡ u 2 d u

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

∫ 1 3 tan - 1 ⁡ u 2 d u = 2 u tan - 1 ⁡ u - 1 2 ln ⁡ 1 + u 2 1 3

= 2 3 tan - 1 ⁡ 3 - 1 2 ln ⁡ 1 + 3 2 - tan - 1 ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 1 + 1 2

= 2 3 × π 3 - 1 2 ln ⁡ 2 - π 4 - 1 2 ln ⁡ 2

Portanto,

∫ 1 3 tan - 1 ⁡ t t d t = 2 3 × π 3 - 1 2 π - ln ⁡ 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 3 tan - 1 ⁡ t t d t = 2 3 × π 3 - 1 2 π - ln ⁡ 2

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