Avalie a integral.

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 2

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = 3 sin ⁡ θ , logo, derivando temos d x = 3 cos ⁡ θ d θ . E, ainda 9 - u 2 = 3 cos ⁡ θ .

Para 5 - 4 x - x 2 , temos que usar o método de completar os quadrados.

5 - 4 x - x 2 = x 2 + 4 x + 4 + 9 = 9 - x + 2 2

Então, u = x + 2 e d u = d x . Logo,

∫ d u 9 - u 2 5 2

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

∫ d u 9 - u 2 5 2 = ∫ 3 cos ⁡ θ d θ 3 cos ⁡ θ 5

Simplificando, essa integral tem como resultado:

∫ 3 cos ⁡ θ d θ 3 cos ⁡ θ 5 = 1 81 ∫ sec 4 ⁡ θ d θ = 1 81 ∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Logo,

1 81 ∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 81 1 3 tan 3 ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

1 81 ∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 243 u 3 9 - u 2 3 2 + 3 u 9 - u 2 + C

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 2 = 1 243 ( x + 2 ) 3 5 - 4 x - x 2 3 2 + 3 ( x + 2 ) 5 - 4 x - x 2 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ d x 5 - 4 x - x 2 5 2 = 1 243 ( x + 2 ) 3 5 - 4 x - x 2 3 2 + 3 ( x + 2 ) 5 - 4 x - x 2 + C

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