Calcule as integrais.

Passo 1

Geralmente aparecem questões com potências de seno e cosseno, mas agora, temos que o argumento do seno e do cosseno não é o que estamos acostumados a encontrar.

Como estamos como o produto de senos e cossenos, a ideia é tentar tornar esse produto numa soma, usando aquelas regras : s e n a + b = s e n   a   c o s b + s e n b cos ⁡ a e cos ⁡ a + b = c o s a cos ⁡ b - s e n a   s e n b   .

Vamos lá,

Se ligue que

  s e n 6 θ + 5 θ = s e n 11 θ = s e n 5   θ cos ⁡ 6 θ + s e n 6 θ cos ⁡ 5 θ

E,

s e n - θ = s e n 5   θ - 6 θ = s e n 5 θ cos ⁡ - 6 θ + s e n - 6 θ cos ⁡ 5 θ

= s e n   5 θ cos ⁡ 6 θ - s e n 6 θ c o s ⁡ ( 5 θ )

Somando os dois,

s e n 11 θ + s e n - θ = 2 s e n 5   θ cos ⁡ 6 θ  

Então,

s e n 5   θ cos ⁡ 6 θ = 1 2 ( s e n 11 θ + s e n - θ )

Passo 2

Substituindo na integral,

∫   s e n 5 θ cos ⁡ 6 θ d θ = 1 2   ∫     ( s e n - θ + s e n 11 θ ) d θ  

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

1 2   ∫     ( s e n - θ + s e n 11 θ ) d θ   =   1 2 ∫   s e n - θ   d θ + 1 2 ∫   s e n 11 θ d θ = 1 2 cos ⁡ - θ - 1 22 cos ⁡ 11 θ + C    

Como o cosseno é uma função par, ou seja, cos ⁡ - θ = cos ⁡ ( θ )

1 2   ∫     ( s e n - θ + s e n 11 θ ) d θ   = 1 2 c o s θ - 1 22 cos ⁡ 11 θ   + C  

Resposta

∫   s e n 5 θ cos ⁡ 6 θ d θ =   1 2 c o s θ - 1 22 cos ⁡ 11 θ   + C    

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