Enunciado

Avalie a integral.

int tan^2 theta sec^4 theta d theta

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos aplicar a regra da substituição. Entretanto, primeiro, vamos manipular a nossa integral. Fica assim:

int tan^2 theta sec^4 theta d theta

int tan^2 theta sec^2 theta sec^2 theta d theta

Agora, devemos lembrar da seguinte identidade:

sec^2 x = tan^2 x + 1

Logo, substituindo:

int tan^2 theta sec^2 theta ( tan^2 theta + 1 ) d theta

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

tan theta = u

d theta = (d u)/(sec^2 theta)

Substituindo:

int u^2 sec^2 theta (u^2 + 1) ((d u)/(sec^2 theta))

int u^2 (u^2 + 1) d u

int u^4 + u^2 d u

Pela regra da adição:

int u^4 d u + int u^2 d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u . Na primeira, temos:

int u^4 d u

(u^5)/(5) + C_1

Já para a segunda:

int u^2 d u

(u^3)/(3) + C_2

Substituindo u nas duas:

= (tan^3 theta)/(3) + (tan^5 theta)/(5) + C

Resposta

(tan^3 theta)/(3) + (tan^5 theta)/(5) + C

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