Avalie a integral.

∫ tan 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos aplicar a regra da substituição. Entretanto, primeiro, vamos manipular a nossa integral. Fica assim:

∫ tan 2 ⁡ θ sec 4 ⁡ θ d θ

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, devemos lembrar da seguinte identidade:

sec 2 ⁡ x = tan 2 ⁡ x + 1

Logo, substituindo:

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) d θ

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

tan ⁡ θ = u

d θ = d u sec 2 ⁡ θ

Substituindo:

∫ u 2 sec 2 ⁡ θ u 2 + 1 d u sec 2 ⁡ θ  

∫ u 2 u 2 + 1 d u

∫ u 4 + u 2 d u  

Pela regra da adição:

∫ u 4 d u + ∫ u 2 d u

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u . Na primeira, temos:

∫ u 4 d u

u 5 5 + C 1

Já para a segunda:

∫ u 2 d u

u 3 3 + C 2

Substituindo u nas duas:

= tan 3 ⁡ θ 3 + tan 5 ⁡ θ 5 + C

Resposta

tan 3 ⁡ θ 3 + tan 5 ⁡ θ 5 + C

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